Подобная проблема проявляется на разных авто, причем при приближении холодов только прогрессирует. Универсального способа решения здесь нет, нужно смотреть в зависимости от специфики конкретного авто.
1.Чтобы сигнализация дала команду на завод двигателя должен произойти ряд событий, если одно из событий не проходит, то запуск откладывается, после одной или нескольких попыток прекращается. События контролируется проводкой, которая служит источником контроля запуска двигателя, как правило это напряжение, генератор, тахо-датчик. Помимо это есть программные настройки, которыми можно отрегулировать более гибко эти параметры. В инструкции по установке вся эта информация есть, можно попробовать изменить источник контроля или его настройки.
2.Еще, если на авто стоит блок обхода штатного иммобилайзера, то проблема может быть в нем, т.е. иммо не видит метку и блокирует двигатель. Здесь можно попробовать оставить второй ключ зажигания в замке и попробовать завести двигатель, если все будет нормально, то значит в блоке обхода проблема.
3.Возможно низкий заряд АКБ, для начала проверьте этот момент.
В любом случае решение проблем с автозапуском, связанных с п.1, следует доверить именно установщикам, самостоятельно вмешиваться в проводку и настройки не рекомендуем.
Что касается радиуса действия брелка, то скорее всего в самом брелке проблема, проверьте с запасным (в нем тоже батарею замените), сравните работу.